Neste trabalho, investigamos a existência e regularidade de solução para uma equação elíptica semilinear com não
linearidade singular, seguindo os estudos de Lucio Boccardo e Luigi Orsina em \cite{boccardo&orsina}. Tal problema é
dado por:
\begin{eqnarray*}
\label{PRINCIPAL}
\left\{\begin{array}{ll}
-\text{div}(M(x)\nabla u)=\frac{f(x)}{u^\gamma}, \hspace{0.2cm} \text{ em }\Omega\\
u>0,\hspace{3.2cm}\text{ em }\Omega\\
u=0,\hspace{3.2cm}\text{ em }\partial\Omega\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
onde $\Omega$ é um subconjunto de $\mathbb{R}^N$ limitado de classe $C^1$, $N\geq 2$,
$f:\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$ é uma função pertencente a algum espaço de Lebesgue, $\gamma>0$ e $M$
é uma matriz elíptica limitada.

Essa dissertação estuda uma condição para que, em p-grupos finitos, o subgrupo derivado coincida
com o conjunto de comutadores. Baseado no artigo “Commutators in finite p-groups with 2-
generator derived subgroup”, o foco desse trabalho é mostrar que, em um p-grupos finito G cujo
subgrupo derivado Gʹ pode ser gerado por 2 elementos, todo elemento do subgrupo derivado é um
comutador e, mais do que isso, existe x ∈ G tal que Gʹ = {[x, g] | g ∈ G}

Nesta dissertação apresentamos os conceitos básicos do algoritmo LLL, sua implementação com o software MAGMA, e aplicações em problemas envolvendo inequações Diofantinas exponenciais.

Nesta tese, estudaremos existência e multiplicidade de soluções para a seguinte classe de
problemas
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta^{2} u \pm\Delta_p u + V(x)u= f(u) + \beta |u|^{2_{**}-2}u\
\mbox{in} \ \ \Omega, \ \ \\ u\in H^{2}\cap H^{1}_{0}(\Omega),
\end{array}
\right.\leqno{(P_{i})}
$$
%e
%$$
%\left \{
%\begin{array}{l}
%\Delta^{2} u \pm \Delta_{p} u +V(x)u= f(u) +\beta |u|^{2_{**}-2}u\
%\mbox{in} \ \ \mathbb{R}^{N}, \ \\
%u(x)\neq 0 \;\; x \in \mathbb{R}^{N}, \\
%u\in H^{2}(\mathbb{R}^{N}),
%\end{array}
%\right. \leqno{(Q)}
%$$
%\textcolor{blue}{onde $(P_{i})~(i=1,2,3)$ correspondem aos três problemas considerados nos capítulos 1-3,
respectivamente}
onde $(P_{i})~(i=1,2,3)$ correspondem aos três problemas considerados nos capítulos 1-3, respectivamente,
$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ é um domínio suave, $\beta \in \{0,1\}$, $2< p< 2^{*}= \frac{2N}{N-2}$ para $
N\geq 3$ e $2_{**}= \infty$ para $N=3, 4$, $2_{**}= \frac{2N}{N-4}$ para $N\geq 5$

\medskip
O Capítulo 1 é dedicado a provar um resultado de existência de soluções para o problema $(P_{1})$ quando $V=0$ e
$\beta =0$, onde $\Omega\subset\mathbb{R}^ {4}$ é um domínio com fronteira suave,
$2< p < 4$ e $f$ é uma função contínua superlinear com crescimento exponencial subcrítico ou crítico. Aplicamos o
método de Nehari para provar o resultado principal.
\medskip

No Capítulo 2 é dedicado a provar a existência e multiplicidade de soluções para o problema $(P_{2})$ quando $V=0$
e $\beta \in \{0,1\}$,
onde $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ é um domínio limitado e suave e $f$ é uma função contínua. Mostramos a
existência e multiplicidade de soluções não triviais usando técnicas de minimização na variedade de Nehari, Teorema
de Passo da Montanha e teoria do género. Neste capítulo consideramos o caso subcrítico $\beta=0$ e o caso crítico
$\beta=1$.
\medskip
No Capítulo 3 é dedicado a provar a existência de uma solução de estado fundamental para o problema $(P_{3})$.
Aqui $V$ e $f$ são funções contínuas com $V$ sendo periódica ou assintótica ao infinito. A função $f$ tem
crescimento subcrítico e se comporta como
$|u|^{q-2}u$ com $p<q< 2_{**}$. Mostramos a existência de uma solução de estado fundamental(para mais
detalhes ver observação \ref{groundstatsolution}) usando métodos variacionais considerando o caso subcrítico, ou
seja, $\beta=0$ e o caso crítico, ou seja, $\beta=1$.

O estudo de grupos nos quais cada elemento tem ordem potência de primo (EPPO-grupos) foi iniciado em trabalhos pioneiros de G. Higman e M. Suzuki. Hoje em dia os EPPO-grupos finitos são bem conhecidos. Por exemplo, é conhecido que se G é um EPPO-grupo finito solúvel, então a altura de Fitting de G é no máximo 3 e |π(G)| ⩽ 2. Mais do que isto, se G é não solúvel, então o radical solúvel R(G) de G é um 2-grupo e o grupo quociente G/R(G) pertence a uma lista de exatamente 9 grupos determinada por Suzuki. No presente trabalho nos concentramos em grupos nos quais todo comutador tem ordem potência de primo (CPPO- grupos). Nós mostramos que se G é um CPPO-grupo finito, então a estrutura de G′ é similar à de um EPPO-grupo. Em particular, nós mostramos que qualquer CPPO-grupo finito solúvel G tem altura de Fitting no máximo 3 e que |π(G′)| ⩽ 3. Mais do que isto, se G é não solúvel, então R(G′) é um 2-grupo e G′/R(G′) é isomorfo a um EPPO-grupo simples.

Neste trabalho provamos a existência e regularidade de soluções fracas para os seguintes sistemas: Maxwell-Schrödinger e Kirchhoff-Maxwell-Schrodinger [ver sistemas no documento]. Mostraremos que sob certas condições apropriadas em f e g existem soluções cuja somabilidade escapam à regularidade prevista pela teoria clássica de Stampacchia, dando origem ao chamado efeito regularizante.

Consideramos dois dipolos magnéticos fixos no plano, livres para girar, separados por uma distância r, sujeitos a um campo magnético externo homogêneo aplicado com uma certa orientação. Esse sistema é um sistema dinâmico não-linear e o objetivo deste trabalho é determinar e classificar seus pontos de equilíbrio e as bifurcações sofridas pelo sistema causadas por variações do campo aplicado, sejam de intensidade ou de orientação. As equações do movimento dos dipolos são obtidas a partir da segunda lei de Newton em termos angulares e dos torques que cada um dos dipolos sofre devido à presença do outro e devido ao atrito de rotação. Mostramos que, dos ponto de equilíbrio obtidos na ausência de um campo magnético externo, apenas dois são estáveis. As bacias de atração dos pontos estáveis foram construídas com auxílio do método Runge-Kutta. À medida em que a intensidade e a orientação do campo externo aplicado variam, o sistema pode sofrer cinco tipos de bifurcações diferentes que podem destruir, criar e mudar a estabilidade destes pontos de equilíbrio. Para altas intensidades, observamos que apenas quatro pontos de equilíbrio são observados, dos quais apenas um é estável. Os resultados desta análise foram obtidos a partir da aplicação de uma combinação do Método da Continuação, do Método Newton-Raphson e do Método Runge-Kutta.

O objetivo deste trabalho é investigar/descrever propriedades estruturais de grupos (finitos ou infinitos) a partir de restrições sobre seus subgrupos.  

O objetivo desta monografia é apresentar de modo sucinto a teoria das E-funções e os pré-requisitos necessários para a prova do Primeiro Teorema Fundamental. A partir deste resultado, provaremos o Segundo Teorema Fundamental do qual obteremos como corolário o famoso Teorema de Lidemann-Weierstrass.

A presente tese se propõe a responder as seguintes questões. Mesmo em um cenário que não se desenvolva uma vacina eficaz nos próximos anos, a estratégia de isolamento social e reabertura repetidas vezes reduz o número de óbitos? E por que a SARS (2002) e a MERS (2012) não causaram tantos problemas quanto a pandemia de COVID-19? Utilizamos ideias de teoria de controle e o clássico modelo SIR para responder a primeira pergunta, enquanto que, para responder a segunda pergunta, é necessário introduzir uma extensão desse modelo, que denominamos de SECIAR, e descrever sua dinâmica global.

Este trabalho tem como objetivo apresentar resultados sobre o quadrado tensorial não
abeliano G ⊗ G de um grupo G, para a classe de p-grupos finitos powerful. Também
apresentamos algumas propriedades e resultados sobre p-grupos finitos e p-grupos
powerful que serão utilizados no contexto, bem como as principais propriedades do
grupo ν(G), uma certa extensão do quadrado tensorial G ⊗ G por G × G. Além
disso, abordamos alguns limitantes para a ordem, o expoente e o posto de G ⊗ G e
do quadrado exterior não abeliano, G ∧ G, para p-grupos finitos G.

Neste trabalho, estudamos superfícies tipo-espaço no espaço de Minkowski $\mathbb{E}^3_1$ e que satisfazem a equação linear Weingarten do tipo $aH+bK=c$, onde $a,b$ e $c$ são constantes, e $H$ e $K$ denotam,respectivamente, a curvatura média e a curvatura Gaussiana da superfície. Mostramos que se essas superfícies são folheadas por círculos em planos paralelos e possuem ($H\neq0$ e $K\neq0$), então essas superfícies são de revolução. Além disso, mostramos que se uma superfície tipo-espaço satisfaz a equação linear Weingarten e é folheada círculos em planos que não são paralelos, então essa superfície é pseudo-hiperbólica.

O objetivo deste trabalho é investigar existência e unicidade de solução para uma classe equações não lineareas de
reação-difusão com condições de contorno não local, além de analisar a dinâmica do problema. Para isso, utilizamos o método de sub e supersolução para as equações elípticas e parabólicas.

Neste trabalho enunciamos e provamos um resultado de bifurcação global devido a Rabinowitz. Em seguida, aplicamos essa teoria para obter soluções positivas de problemas elípticos do tipo Kirchhoff em domínio limitado com deferentes hipóteses sobre a não-linearidade.

Baseado em um trabalho de Armando V. Corro, Antonio Martínez, Keti Tenenblat, nesta
dissertação aplicaremos as transformações de Ribaucour para superfícies planas rotacionais no espaço hiperbólico
tridimensional, H^3, fornecendo novas famílias explícitas de superfícies planas em H3 que são determinadas por vários parâmetros. Ao escolhermos certos parâmetros de forma especial, é possível obter superfícies que exibem periodicidade em relação a uma variável e também superfícies que possuem um número par arbitrário de fins do tipo horosfera mergulhados, ou até mesmo um número infinito de tais fins.

Esta dissertação tem como objetivo estudar a atratividade global de uma equação de blowfly não-autônoma de Nicholson com um par de retardos dependendo do tempo. Mais precisamente, iremos investigar a permanência, estabilidade local e atratividade global de seu equilíbrio positivo K.

Nesta dissertação estudamos as propriedades assintóticas de um estimador, apresentado por Goegebeur et al. (2022), para a medida de risco conhecida como momento caudal condicional. A situação considerada corresponde à extrapolação fora do intervalo de dados e requer argumentos da teoria de valores extremos para a construção do estimador apropriado. Realizamos uma breve análise das principais medidas de risco encontradas na literatura, bem como suas relacões com o momento caudal condicional e apresentamos, em detalhes, os resultados obtidos por Goegebeur et al. (2022), que estabelecem, sob condições desejáveis, a distribuição limite do estimador devidamente normalizado.

Provamos que uma hipersuperfície orientada em uma forma espacial, cuja
curvatura média não se anula em nenhum ponto, é uma condição inicial para
uma solução do fluxo de curvatura média inverso (FCMI) por hipersuperfícies

paralelas se, e somente se, ela é isoparamétrica. Considerando as hipersu-
perfícies isoparamétricas nas formas espaciais, obtemos as soluções para o

FCMI por hipersuperfícies paralelas explicitamente. Além disso, estudamos
essas soluções em detalhes descrevendo seus comportamentos no intervalo
maximal onde estão definidas. Para as hipersuperfícies isoparamétricas no
espaço hiperbólico e na esfera, com duas ou quatro curvaturas principais
distintas, consideramos a hipótese adicional de que essas curvaturas têm a
mesma multiplicidade.

Em 1993, Pollington [24] demonstrou que dados n natural e θ real, existe (σ, τ ) ∈ Un × Un tal que f(σ, τ ) = θ, onde f(x,y) = x+y; isto é, todo número real pode ser escrito como soma de dois Un-números, para todo n natural. Neste trabalho de tese, consideramos substituir f(x,y) por famílias mais gerais de polinômios em duas variáveis a coeficientes inteiros.

Neste trabalho, estudamos hipersuperfícies isoparamétricas em variedades
produto de dimensão 4. Primeiramente, caracterizamos e classificamos as hipersuperfícies
isoparamétricas com curvaturas principais constantes nos espaços produto Q c1 x Q c2 , em
que Q ci é uma forma espacial com curvatura seccional constante ci, para ci {-1,0,1} e c1 c2.
Mostramos que tais hipersuperfícies são dadas por conjuntos abertos de uma
hipersuperfície produto, em que um dos fatores é uma curva de curvatura constante, ou de
uma estrutura diagonal em H 2 x R 2 , construída a partir de horocírculos em H 2 e retas em R 2 .
Em seguida, classificamos as hipersuperfícies em Q 3 x R que possuem as três curvaturas
principais constantes distintas, em que neste caso . Mostramos que tais hipersuperfícies
são cilindros sobre superfícies isoparamétricas de Q 3 com duas curvaturas principais
distintas e não-nulas. Também provamos que as hipersuperfícies com curvaturas principais
constantes em Q 3 x R são isoparamétricas. Além disso, fornecemos uma condição
necessária e suficiente para uma hipersuperfície isoparamétrica em Q 3 x R ter curvaturas
principais constantes.
Finalmente, descrevemos a evolução pelo fluxo da curvatura média de hipersuperfícies
isoparamétricas em variedades produto de dimensão 4. Mostramos que a evolução de
hipersuperfícies isoparamétricas de variedades Riemannianas pelo fluxo da curvatura média
é dada por uma reparametrização do fluxo por hipersuperfícies paralelas em um curto
espaço de tempo, desde que a unicidade do fluxo de curvatura média seja válida para os
dados iniciais e o espaço ambiente correspondente. Através deste resultado, descrevemos
a evolução das hipersuperfícies classificadas na primeira e segunda partes do trabalho.
Também descrevemos as evoluções de hipersuperfícies isoparamétricas em S 2 xS 2 e H 2 xH 2 ,
classificadas por Urbano (2019) e Dong Gao, Hui Ma e Zeke Yao (2022), respectivamente,
e das hipersuperfícies isoparamétricas em Q 3 x R com g curvaturas principais constantes
distintas, g {1,2}, classificadas por Chaves e Santos (2019).

O método dos elementos discretos (abreviado como DEM, do inglês) é um método numérico amplamente usado para simular materiais granulares. A evolução temporal destas simulações é frequentemente feita usando algoritmos tipo Verlet, por causa de sua segunda ordem e propriedade desejada de conservação de energia. No entanto, quando forças dissipativas são incluídas no modelo, como, por exemplo, o modelo não-linear de Kuwabara-Kono, o método de Verlet não mais se comporta como um método de segunda ordem, tendo sua ordem reduzida para 1.5. Isso é causado pelo comportamento singular das forças viscosas no modelo de Kuwabara-Kono no início e fim de colisões de partículas. Neste trabalho, nós introduzimos um problema simplificado que reproduz a singularidade presente no modelo de Kuwabara-Kono e provamos que a ordem do método diminui de 2 para 1 + q, sendo 0 < q < 1 o expoente do termo não-linear singular. Além disso, nós propomos um modelo regularizado para forças normais baseado no conceito de mollifiers. Nós mostramos numericamente que o método de Verlet combinado com esse modelo regularizado de forças é capaz de integrar colisões com precisão de segunda ordem e que o coeficiente de restituição do sistema tende a aumentar como uma função do parâmetro regularizador. Além disso, utilizando o algoritmo DEM, nós construímos uma simulação computacional de um escoamento granular de Taylor-Couette para gerar dados coarse-grained que serão inseridos no algoritmo de aprendizado SINDy para inferir as equações constitutivas para escoamentos granulares baseado na reologia \mu(I).

Nessa tese estudaremos decomposições de grupos profinitos como extensões HNN e produtos livres
amalgamados. Essas construções podem ser consideradas casos particulares de um grupo fundamental de grafo de grupos, o qual denotaremos por $\Pi_1(\GA,\G)$. Dessa forma, se dado grupo profinito $G$ possui uma decomposição $G=\Pi_1(\GA,\G)$ para algum grafo profinito de grupos $(\GA,\G)$, obtemos não só propriedades do grupo $G$ mas também de grafo de grupos $(\GA,\G)$. Na primeira parte, dado um grupo abstrato $G$ que se decompõe como o grupo fundamental de um grafo infinito de grupos, construímos um grafo profinito de grupos $(\overline{\GA},\overline{\G})$ tal que $\G$ mergulha em $\overline{\G}$ e o completamento profinito de $G$ se decompõe como $\widehat{G}=\Pi_1(\overline{\GA},\overline{\G})$. Isso responde um Problema em Aberto de Ribes. Com essa construção em mãos, respondemos dois outros Problemas em Aberto de Ribes. O primeiro está relacionado com o fecho de normalizadores e generaliza o teorema principal de um artigo escrito por Ribes e Zalesski. O segundo está relacionado com a separabilidade por conjugação de subgrupo de grupos virtualmente livres, generalizando o resultado principal de um artigo escrito por Chagas e Zalesski. Nossa estratégia para resolver os problemas supracitados foi descrever o grupo fundamental profinito de um grafo de grupos na linguagem de caminhos. Essa nova definição se comporta bem quando da aplicação de limites inversos, o que facilita a interrelação entre as configurações abstrata e profinita da Teoria de Bass Serre. Continuamos nossa jornada investigando o celebrado Teorema da Decomposição de Stallings. Este estabelece que a decomposição de um subgrupo $H$ de índice finito de um grupo finitamente gerado $G$ como um produto livre amalgamado ou uma extensão HNN sobre um grupo finito implica o mesmo para $G$. A versão pro-$p$ desse resultado foi obtida por Weigel e Zalesski em 2017. Nós mostramos que, na categoria de grupos pro-$p$, os teoremas de decomposição valem além de cisões sobre grupos finitos. Se $G$ é um grupo pro-$p$ finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto $H$ que se decompões como $H=\Pi_1(\HA,\D)$, e supomos que classes de conjugação de grupos de vértices são $G$-invariantes, então $G$ também se decompõe como $G=\Pi_1(\GA,\G)$. Se $H$ é um produto pro-$p$ livre não trivial obtemos, como um caso particular, o Teorema de Weigel-Zalesski supracitado. A principal ferramenta por trás da demonstração é nosso Teorema da Limitação, que estabelece que $|E(\G)| \leq |E(\D)|$. Com essa construção em mãos, fornecemos três aplicações. Primeiramente mostramos que se $G$ é um grupo pro-$p$ finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto $H$ agindo sobre uma árvore pro-$p$ $T$, com $\{H_v \mid v \in V(T)\}$ sendo $G$-invariante, então $G$ se decompõe como $G=\Pi_1(\GA,\G)$. Também mostramos que acessibilidade generalizada de grupos pro-$p$ finitamente gerados é fechada para comensurabilidade. Finalizamos a tese mostrando que nosso Teorema 11 também vale para o exemplo de grupo pro-$p$ inacessível dado por Wilkes.

A natureza aritmética de um número que é imagem de um número algébrico por uma função transcendente é um tema estudado por vários matemáticos desde o século XIX. Um dos principais interessados nesse tipo de problema foi Mahler, que propôs questões de grande interesse em Teoria Transcendentes dos Números. Uma dessas questões trata da existência de uma função transcendente com coeficientes inteiros e limitados que assume valores algébricos em pontos algébricos. O primeiro objetivo deste trabalho, é mostrar a existência de uma tal função, porém com quase todos os coeficientes limitados.

Mostraremos ainda a existência de uma função transcendente f ∈ Z{z} com quase todos os coeficientes limitados tal que f e todas as suas derivadas levam algébricos em algébricos.

Um outro problema proposto por Mahler questiona se existem funções transcendentes com um conjunto excepcional prescrito. Relacionado a esse problema, mostramos que certos subconjuntos de números algébricos são conjuntos excepcionais de alguma função transcendente f ∈ Z{z} com quase todos os coeficientes limitados.

Nessa tese estudamos as Zp-decomposições de um grupo pro-p G como um produto livre
pro-p com um subgrupo pro-cíclico infinito amalgamado ou como uma HNN-extensão com subgrupo pro-p cıclico
infinito associado, e provamos a versao pro-p dos Teorema 2.1 e Teorema 3.6 de [1]. Além disso, usando a definição de comensurador de um subgrupo, provamos que quando um grupo pro-cíclico C age livremente sobre uma p-árvore T, o quociente do comensurador de C sobre um normal contido em um G-estabilizador de arestas  e pro-cíclico infinito ou diedral pro-p infinito, que e uma vers ̃ao mais generalizada da Proposição 8.1 de [6]. Finalmente mostramos condições para que um grupo pro-p G agindo sobre uma pro-p arvore seja igual ao comensurador de um G-estabilizador de aresta.

Seja (M^n, g,∇f, λ) um soliton quasi-Ricci gradiente e compacto, com fronteira. Neste trabalho
obtemos teoremas de rigidez para (M^n, g,∇f, λ) de modo que, sob determinadas hipóteses, podemos mostrar se ele
é isométrico a um hemisfério de uma esfera Euclidiana, a uma bola Euclidiana fechada ou a um domínio hiperbólico.
Além disso, aplicamos tais teoremas em uma caracterização de quasi-solitons de Ricci gradientes e compactos sobre
o produto warped M = B ×h F, em que B é uma variedade Riemanniana com fronteira.

Neste trabalho, estudamos a existência de soluções positivas para uma classe de equações elípticas semilineares com não linearidade indefinida. Mais especificamente, baseados no artigo de Alama e Tarantello (1993), estudamos o problema em que Ω é um domínio limitado do , N ≥ 3, λ e γ são parâmetros reais, W ∊ (Ω) é uma função que muda de sinal em Ω e f ∈ (). Com auxílio de técnicas variacionais e um teorema de bifurcação, estabelecemos a existência, não existência e a multiplicidade de soluções positivas para o problema acima, em função do parâmetro λ.

Sejam G e H grupos que agem de forma compatível entre si. Os artigos [14], [15]
e [22] consideram um quociente η(G, H) do produto livre G ∗H que é uma extensão de
grupo do produto tensorial não abeliano G ⊗H. Este artigo tem como objetivo mostrar
que o grupo η(G, H) é nilpotente se G e H são grupos nilpotentes que atuam de forma
nilpotente um sobre o outro. Alguns exemplos são dados em detalhes para mostrar que
η(G, H) não é nilpotente quando pelo menos uma das ações é não nilpotente

Esta dissertação apresenta um estudo detalhado do Problema de Anti-Unificação, investigado originalmente por Plotkin e Ploppestone no início dos anos 70. Este problema consiste em encontrar um termo que mantém a maior estrutura comum entre dois outros termos dados. Isto é, dados s e t, o problema consiste em encontrar um terceiro termo r, que tem uma noção (ainda a ser definida de) maximalidade, tal que existam σ 1 e σ 2 tais que rσ 1 = s e rσ 2 = t. Tal termo r é chamado de generalizador menos geral de s e t. Neste trabalho investigaremos o Problema de Anti-Unificação Sintático, isto é, quando consideramos a igualdade sintática entre os termos; e também dos Problemas de Anti-Unificação modulo Comutatividade (C) e Associatividade (A), isto é, quando o problema de anti-unificação considera as igualdades modulo C e modulo A, respectivamente. Em todos os casos, apresentamos um algoritmo para resolução do problema além de suas propriedades de terminação, correção e completude. A partir das propriedades de cada algoritmo, apresentaremos então as propriedades dos conjuntos de soluções de cada problema.

(*) Para quaisquer x,y \in G existem inteiros positivos n=n(x,y) e q=q(x,y) tais que [x,{}_{n}y^{q}]=1;

(**) Para quaisquer x,y \in G existem inteiros positivos n=n(x,y) e q=q(x,y) tais que [x^{q},{}_{n}y]=1.

Mostramos que se G satisfaz (*), então G é um grupo virtualmente nilpotente. Se G satisfaz (**), então G é um grupo nilpotente. Quando G é um grupo (abstrato) solúvel finitamente gerado satisfazendo (*) ou (**) então G é virtualmente nilpotente. A última afirmação generaliza o teorema de Gruenberg que diz que todo grupo solúvel Engel finitamente gerado é nilpotente.